Diferenças entre Métodos de Estimativa Linear e Não-Linear: Krigagem Ordinária e Krigagem Multi-Indicadora (MIK)

1. Introdução

A geoestatística oferece um conjunto de ferramentas fundamentais para a avaliação de depósitos minerais, permitindo a modelagem da variabilidade espacial de teores e a quantificação de incertezas. Dentre os métodos de estimativa, a krigagem ordinária (OK), de natureza linear, é amplamente utilizada como padrão em relatórios de recursos minerais. No entanto, depósitos com alta variabilidade de teores e/ou conhecimento geológico limitado frequentemente exigem abordagens não-lineares, como a krigagem multi-indicadora (MIK).

Enquanto a OK fornece uma estimativa pontual do valor médio do teor em um bloco, a MIK busca modelar a função de distribuição condicional (CDF) do teor, permitindo quantificar probabilidades, curvas teor-tonelagem e riscos associados. A Figura 1 apresenta as diferenças entre as metodologias de krigagem ordinária e krigagem de multi-indicadores.

Figura 1 : Diferenças entre a metodologia de krigagem ordinária e multi-indicator kriging.

---

2. Krigagem Ordinária (OK) – Método Linear

• Fundamento: a estimativa é uma combinação linear dos dados, ponderados por pesos derivados do variograma. Apenas influenciado pela correlação entre amostras no espaço e não seus valores definitivos.
• Resultados: fornece uma estimativa média não tendenciosa, minimizando o erro quadrático médio. Esse valor médio é melhor garantido quando as distribuições de referência são normalizadas.
• Vantagens: Simplicidade e aceitação universal em normas internacionais (JORC, NI 43-101, SK-1300). Adequada em depósitos bem amostrados e com domínios geológicos bem definidos.
• Limitações: Suavização de teores: valores altos tendem a ser subestimados e valores baixos superestimados. Dificuldade em representar a variabilidade local e incertezas.

---

3. Krigagem Multi-Indicadora (MIK) – Método Não-Linear

A MIK utiliza variáveis indicadoras para diferentes limiares de teor, transformando a variável contínua em um conjunto de distribuições binárias (0 ou 1). Cada indicador é krigado separadamente, fornecendo probabilidades de que o teor em um bloco exceda cada limiar.

3.1 Peculiaridades da MIK

Seleção do número de classes de teor

• O teor contínuo é discretizado em intervalos (limiares ou cut-offs).
• O número de classes deve ser suficiente para representar a distribuição, sem comprometer a estabilidade da estimativa. Um número grande de classes pode causar problemas de relação de ordem, enquanto um número pequeno pode não caracterizar a variabilidade da distribuição adequadamente. Os valores de cauda e cabeça da distribuição são os mais críticos, normalmente interpolados a partir de funções devido a baixa quantidade de informação, evitando distorções dos valores médios.
• Importante: as classes devem manter a mesma proporção de metal observada nos dados originais, evitando distorções de massa metálica.

Estratégia de krigagem

• A mesma estratégia de krigagem (tipo de busca, número de amostras, discretização) deve ser aplicada a todas as classes, garantindo consistência.
• A estimativa deve utilizar variogramas ajustados para cada limiar ou, em muitos casos, assumir o mesmo alcance para todas as classes, evitando problemas de inconsistência espacial.

Problemas de relação de ordem (order relation problem)

• Como cada indicador é krigado de forma independente, pode ocorrer violação da monotonicidade da distribuição condicional (ex.: probabilidade de teor da distribuição acumulada não ser monotônica crescente como mostrado na Figura 2).
• Estratégias de correção incluem interpolação monotônica e ajustes de pós-processamento da CDF.

Figura 2 : Problema de relação de ordem em uma distribuição de teores acumuladas de um bloco parental

Aplicação em regiões pouco conhecidas

• A MIK é particularmente útil quando a geologia é pouco definida ou os domínios geológicos ainda não estão claramente delimitados.
• Ao fornecer probabilidades em vez de valores médios, permite maior flexibilidade para estudos de risco e cenários de incerteza.

Curvas teor-tonelagem em blocos menores que o parental

• Uma vantagem da MIK é possibilitar a geração de curvas teor-tonelagem consistentes em escalas menores que o bloco parental, via técnica de mudança de suporte.
• Isso auxilia no planejamento de lavra seletiva, permitindo avaliar ganhos de recuperação e cutoff dinâmico.

Uso de mesmos alcances para as classes

• Manter os mesmos alcances de variograma entre as classes reduz problemas de ordem e inconsistência geométrica.
• Essa prática reflete a hipótese de que a continuidade espacial é a mesma para todos os limiares de teor.

---

4. Conclusão

A krigagem ordinária é adequada para estimativas médias em depósitos bem conhecidos, sendo a base para declaração de recursos minerais. No entanto, em depósitos com forte variabilidade, baixa continuidade ou geologia incerta, a MIK se mostra superior ao:

• preservar a distribuição de teores,
• manter a proporção de metal entre classes,
• gerar curvas teor-tonelagem em escalas menores,
• e oferecer probabilidades explícitas, essenciais para estudos de risco.

Embora mais complexa e sujeita a problemas de relação de ordem, a MIK é uma ferramenta poderosa para avaliação de recursos minerais em cenários de incerteza, complementando e, em muitos casos, superando as limitações da krigagem ordinária.